已知：如图，在 Rt △ABC 中 ， ∠C = 90° ，a , b , c , 分别为 ∠A , ∠B , ∠C 所对应的边，⊙O 为 Rt △ABC 的内切圆 ，半径为 r 。
求证：2r = a b - c 。
图
证法一、(切线长的性质)：
过 ⊙O 分别作 OF⊥AC ， OE⊥BC ， OD⊥AB 垂足分别为 F 、E、D ，则有 OF = OE = OD = r
在 Rt △AOF 和 Rt △AOD 中 由勾股定理得 ：
AO^2 = AF^2 OF^2 = AD^2 OD^2
所以可得： AF = AD
同理可得：BD = BE
在 Rt △ABC 中
∵ a = CE EB = r BE ,
b = CF FA = r FA ,
c = AD DB 。
∴ c = b - r a - r = b a - 2r
∴ 2r = a b - c
证法二、（等积法）
连接 OA , OB , OC
S△ABC = 1/2 ab
S△OAB = 1/2 rc
S△BOC = 1/2 ra
S△COA = 1/2 rb
∵ S△ABC = S△OAB S△BOC S△COA
∴ 1/2 ab = 1/2 rc 1/2 ra 1/2 rb 即 ab = r ( a b c ）
∵ 在 Rt △ABC 中 a^2 b^2 = c^2
∴ a^2 b^2 2ab = c^2 2ab 即 ( a b )^2 - c^2 = 2ab
∴ （ a b c）( a b - c ) = 2ab = 2r ( a b c )
∴ 2r = a b - c
