一、勾股定理的定义
1.定义：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a² b²=c².即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注意：勾—最短的直角边；股：较长的直角边；弦：斜边。勾股定理反应了直角三角形三边间的关系，因此可以借助勾股定理来解决有关边长或面积、平方关系等问题。
2.勾股定理的验证
（1）勾股定理验证的思路：用拼图法验证勾股定理的思路:①图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,那么面积不会改变；②根据同一图形面积的不同表示方法列出等式,推导出勾股定理。
（2）勾股定理验证的实质：勾股定理的验证是通过拼图法,即图形割补来完成的,探索的关键是要找面积相等,通过面积之间的相等关系,将“形”的问题转化为“数”的问题。
拓展延伸：
步骤：①拼出图形;②写出图形面积表达式;③找出等量关系;④恒等变形;⑤推导出勾股定理；
原则：图形割补、拼接前后不重叠、没有空隙。
二、勾股定理的应用
1. 几何图形中的应用：在直角三角形中,计算或证明,即已知两边的长求第三边的长,或者证明含有平方关系的几何题；
2. 实际问题中的应用：在实际问题中应用广泛,建筑测量、工程设计等都常用到勾股定理.一般情况下,遇到求高度、长度、距离、面积等实际问题时,可以构造直角三角形,运用勾股定理求解；
3. 用勾股定理作长度为无理数√n的线段：构造一个直角三角形,利用勾股定理,通过作两直角边,作出斜边长是无理数的线段；
4.网格中画长度为无理数√n的线段的步骤：(1)设法将n表示成两个正整数的平方和;(2)构造直角三角形,使直角三角形的两条直角边长等于第一步得出的两个正整数的值,斜边即为长为√n的线段。
三、勾股定理应用注意事项
1. 勾股定理只适用于直角三角形；
2. 运用勾股定理时，要分清直角边和斜边，若题目没有表明，则需分类讨论；
3. 勾股定理是“数”与“形”的结合，是一种常规的数形结合思想。
四、构造直角三角形的常用方法
1. 作高：通过已知条件，对三角形任一顶点作对边上的高；
2. 补全：对不规则图形将其补全为直角三角形；
3. 分割：
五、直角三角形边的关系（常考点）
1. 斜边上的高×斜边=两直角边的乘积（重要结论）；
2. 斜边上的高等于斜边的一半；
3. 30°角所对的直角边等于斜边的一半；
4. 勾股定理
六、特殊直角三角形
1.等腰直角三角形：三边关系：1∶1∶√2；
2.30°、60°、90°角直角三角形：三边关系：1∶√3∶2。
易错易混题型
易错点一：用勾股定理时未对边的类型分类讨论导致漏解
1.已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边的长.
错解警示 误认为本题中12,5是直角边长而致错.当题目中没有明确说明哪条边是斜边时,要分类讨论.
易错点二：忽视勾股定理应用的前提条件致错
2.已知△ABC的三边长为整数,且较短两边的长分别为3和4,则最长边的长为 .
错解警示 勾股定理必须在直角三角形中使用,在没有说明的情况下,三角形可能是直角三角形,也可能不是,不能因为较短两边的长为3,4,就认定三角形是直角三角形.
易错点三：在立体图形上,不能正确确定点的位置致错
3.如图所示,圆柱的高为15 cm,底面半径为8/πcm.在A点的一只蚂蚁想吃到B点的食物,则蚂蚁爬行的最短路程是 cm.
例1、 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.
(1)已知a=b=6,求c;
(2)已知c=3,b=2,求a;
(3)已知a∶b=2∶1,c=5,求b.
例2、在△ABC中,AB=AC=15,BC=18,则BC边上的高为 ( )
A.12 B.10 C.9 D.8
例3、如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形,已知③号正方形
的面积是1,那么①号正方形的面积是 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
例4、嘉琪同学在课上学习了勾股定理,放学回到家中,制作了四个全等的直角三角形和一个边长等于直角三角形斜边长的正方形,准备复习功课用,六岁的弟弟看到图形以为是做拼图游戏,结果拼出了图.嘉琪是个爱动脑筋的好学生,她继而思考能否借助这个图形设计一道能用所学知识来解决的问题,于是她设计如下题目:图是由四个全等的直角三角形拼成的图形,设CE=a,HG=b,则BD的长是 ( )
A.a b B.a-b C.(a² b²)/2 D. (a²-b²)/2
例5、利用构造直角三角形和画弧的方法在数轴上找到了表示√2的点A,如图，试用这个方法,在数轴上找到表示-√13的点B.(保留作图痕迹)
分析：借助数轴构造一个直角三角形 使它的两条直角边长分别为2,3 以原点为圆心,所作直角三角形的斜边长为半径画弧,与数轴的负半轴相交于一点。
例6、如图所示，在长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠，使点D落在点D'处，求重叠部分(△AFC)的面积.
点拨 关于折叠问题的解题步骤:(1)利用重叠的图形传递数据(一般不用重叠的图形进行计算);(2)选择或构造直角三角形,这个直角三角形一般一边已知,另两边可通过重叠图形找到数量关系,从而利用勾股定理列方程求解.
例7、如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm且与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计).
例8、如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC,∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,则EF的长为 ( )
A.5/2 B.8/3 C.10/3 D.15/4
