关于1=0.9999999..的论证目前主要存在两种方法:
是哪两种方法呢？一种是乘法，一种是加法。
我们先来看第一种方法：第一步：令x=0.99999999……
第二步：等式两边同时乘以10，则有
第三步：10x=9.99999999……
第四步：等式两边同时减去x,等式左边10x-x=9x;
等式右边9.99999999999-x=9
第五步：我们就得到了9x=9；x=1
第六步：所以0.9999999……=x=1
怎么样，这个证明过程是不是在直觉上是没有错误的？
但事实告诉我们0.9999999999999是不可能等于1的。
那么上面的论证过程到底错在哪呢？接下来，我们一起来分析一下。
第一步，和第二步，都没有问题。
第三步也没有问题。
第四步呢？10x-x=9x,应该也没有问题；
那么9.99999999……-9=0.9999999……是否存在问题呢？
直觉上来讲，我们感受不到问题。
但是问题是这个9.9999999999是怎么来的，他是用0.99999999x10得来的，也就是10个0.99999999999相加得来的。
那么对于这种无限循环小数的加法，我们该如何运算呢？是不是按照对自然数的处理方法一样进行呢？
其实对于类似0.9999999999这样的循环小数，我们不妨换一种表达方式，在原规则的表达方式里，是规定了往后数有无限位，在这里我们将无限的概念用在一个数的中间，也就是中间有无数个数位。
如果用这种概念来表达一个0.99999这个无限循环小数就是：
0.99999……999，也就是中间有无数位都是9，最终的无穷位上的数是9。（这里我们表达无穷位及其前两位）
然后我们就能够发现，如果10个0.9999……999相加，最终出现的结果就是无穷位变成了0
而对比原来的0.99999……999，我们就知道10个0.99999……999相加后的结果实际表达应该为：9.9999……990，也就是两个数在无穷位上是不一样的。
所以我们也就有了答案，在等式10x=9.999999……这个表达式中:
左侧的数应该用9.999……990，来表示，也就是这个数在无穷位上是0。
所以我们就能够知道用这个数减去0.999……999，得到数不应该是9；
而应该是8.99999……991。
而五步的等式应该写成的9x=8.9999999……991。
所以最终推导出来的X仍然等于0.9999……999。
我们再来看一下第二种关于1=0.999999……的推导过程第一步：我们知道：1/3=0.333333……
第二步：我们又知道1/3 1/3 1/3=1
第三步：所以有0.333333333 0.333333333 0.333333333=1/3 1/3 1/3=1
第四步：即0.9999999999999=1
关于这个论证过程，我想从直觉上更难以去否定。
但是如果你真的考虑过这个等式两边的数，以及数学中对于数的各种基础定义，你就会逐渐将问题的关键单锁定到这个等式里所隐藏着的一个关键问题上。
因为1/3=0.99999999999……这个表达中就存在着一个关于无限的定义究竟是什么问题。
无限是一个非常虚无的概念。
在哲学史上就因为无限的概念出现过很多有名的悖论，如所谓你永远也无法追上一只先开始前进的乌龟的芝诺悖论。
在数学的发展历史上，无限的概念也引发过关于微积分问题的所谓的第二次数学危机。
17世纪末，牛顿和莱布尼茨创立了微积分的计算方法，但是这些计算方法的中的很多数学基础概念并没有被严格的定义。尤其是在微积分的计算中，关于无限小的概念如同鬼魅一般时而存在，时而又消失。但人们对于如何定义这个无限小，却始终找不到一个合适的概念。
因为在直观的逻辑中，你很难说某一个事物既存在又不存在。
这个关于微积分数学基础的极限，直到19世纪才由法国数学家柯西做出了严格的定义。
有了极限的定义，微积分的数学逻辑基础才逐渐被夯实。
说到底，我们只能通过人为的定义去沟通实体与逻辑，当现有的定义无法解决实体的逻辑问题的时，我们只能通过人的精神创造做出新的定义，来建立新的逻辑。
恩格斯曾经说过，微积分的创立是人类精神的伟大胜利。
实际上，这些定义因为都是人为去定义的，所以所有的定义本身逻辑上也都存在着既存在也不存在的矛盾。
而所有数学的逻辑都是建立在定义的基础上的。
我们定义了等号是两边的数相等。我们可以说1/3=1/3；
但1/3如果不经过运算就不可能等于0.999999999999……
而数学中其实存在着很多不可逆的运算过程，譬如求导，求极限，微分，积分，本质上来说都是不可逆运算，这些运算都在计算过程中产生了某些信息的丢失，丢失掉的其实就是那个虚无缥缈的时有时无的极限概念，有时是无限小，有时是无限大。
所以要最终要解决这个0.9999999999……=1的直观悖论，就需要从定义的基础上开始，做一个类似无限位是存在的的悖论性定义。
有了这个定义，这个无限循环小数就可以写成0.999…999（中间位无限多）
那么1=0.999……999 0.000……001，所以1＞0.999……999。
所以，关于1是不是等于0.9999……的问题，其根源还是需要从数学的基础定义出发去探讨。
其实，关于这个0.9999……=1的数学论证，在极限的概念框架里，还有一种看似更严谨的证明方式。采用的是数列和求极限的方法。
在这里，更想说的是，其实对于同一个数学问题，在不同的数学基础概念定义下，这个问题的答案其实可以是不同的。
最后，我们来做一个有些烧脑的数学题，看看有几个读者能从这个逻辑中绕出来。如果你绕出来了，那么就在想想问题的根源出在哪？是不是因为一开始的某个定义或者观念呢，那这个定义或者观念又是什么呢？
诡异的数学题
一天晚上，有三个人去住宾馆，300元一晚。三个人刚好每人掏了100元凑够300元交给了老板。他们回到了房间，老板忘今天打折又还了50元给他们，让服务员送还给他们。服务员想50元钱他们也不好分，就自己拿走了20元，把剩下的30元钱分给了三个人。这三人每人得到10元钱后，应该是每人只花了90元钱住了一晚，3*90=270，服务元拿20元，270 20=290元，请问那10元钱那里去了??300-290=10(元) 想问的是:明明三个人是出了300元怎么就变成290元了呢?上面哪一步是错的??
