考点一:一元一次方程的定义
【解题方法】一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
【典型例题1】
【典型例题2】
考点二: 等式的基本性质
【解题方法】
等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍相等;
等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,结果仍相等.
【典型例题3】
【典型例题4】
考点三:一元一次方程的解
【解题方法】方程的解:使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意:“方程的解就能代入”。】
【典型例题5】
【典型例题6】
【典型例题7】
【典型例题8】
考点四:解一元一次方程
【解题方法】
一元一次方程解法的一般步骤:
化简方程----------分数基本性质
去 分 母----------同乘(不漏乘)最简公分母
去 括 号----------注意符号变化
移 项----------变号(留下靠前)
合并同类项--------合并后符号
系数化为1---------除前面
七年级数学 一元一次方程
【典型例题9】
【典型例题10】
【典型例题11】
考点五:同解方程
【典型例题12】
【典型例题13】
【典型例题14】
考点六:利润问题
【典型例题15】
某种商品A的零售价为每件1000元,为了适应市场竞争,商店先按零售价的九折优惠,再让利20元销售,每件商品A仍可获利10%.
(1)商品A的进价为多少元?
(2)现有另一种商品B,其进价为每件500元,每件商品B也可获利8%,商品A和商品B共进货100件,若要使这100件商品共获利6320元,则商品A,B需分别进货多少件?
【答案解析】
(1)首先设进价为每件a元,根据题意可得等量关系:(1 利润率)×进价=原售价×打折﹣让利,代入相应数值列出方程,解方程即可;
(2)设需对商品A进货x件,需对商品B进货(100﹣x)件,根据“这100件商品共获纯利6320元”列方程求解可得.
解:(1)设这种商品A的进价为每件a元,由题意得:
(1 10%)a=1000×90%﹣20,解得:a=800,
答:这种商品A的进价为800元;
②设需对商品A进货x件,需对商品B进货(100﹣x)件,
根据题意,得:800×10%x 500(100﹣x)×8%=6320,解得:x=58,
答:需对商品A进货58件,需对商品B进货42件.
【典型例题16】
元旦期间,某商场用1400元购进了甲、乙两种商品,共100件,进价分别是18元、10元.
(1)求甲、乙两种商品各购进了多少件?
(2)商场搞促销活动,若同时购买甲、乙两种商品各1件,可享受标价的8折优惠,此时这两种商品的利润率是10%,求这两种商品的标价总共多少元?
【答案解析】
(1)设甲购进了x件,则乙购进了(100﹣x)件,根据购进的总钱数列出关于x的方程,解之可得;
(2)设两种商品的标价总共y元.由8折销售时这两种商品的利润率是10%列出方程,解之可得.
解:(1)设甲购进了x件,则乙购进了(100﹣x)件,
由题意,得:18x 10(100﹣x)=1400,
解得:x=50,
100﹣x=50,
答:甲、乙两种商品各购进了50件;
(2)设两种商品的标价总共y元.
由题意,得:(18 10)×(1 10%)=0.8y,
解得:y=38.5,
答:两种商品的标价总共38.5元.
【典型例题17】
某商场于元旦之际开展优惠促销活动回馈新老客户,由顾客抽奖决定折扣.某顾客购买甲、乙两种商品,分别抽到六折(按原价的60%支付)和八折(按原价的80%支付),共支付408元,其中甲种商品原价400元.
(1)请问乙种商品原价是多少元?
(2)在本次买卖中,甲种商品最终亏损m%,乙种商品最终盈利2m%,但商场不盈不亏,请问甲种商品的成本是多少元?亏损多少元?
【答案解析】
(1)设乙商品原价为x元,根据购买甲、乙两种商品,分别抽到六折(按原价的60%支付)和八折(按原价的80%支付),共支付408元,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;
(2)设甲商品的成本是y元,则乙商品的成本是(408﹣y)元,根据甲、乙商品的盈亏情况,即可得到m%y=2m%(408﹣y),通过解方程求得答案.
解:(1)设乙商品原价为x元,
由题意,得 400×0.6 0.8x=408
解得:x=210
答:原价为210元;
(2)设甲商品的成本是y元,则乙商品的成本是(408﹣y)元.
由题意,得 m%y=2m%(408﹣y)
解得:y=272
272﹣240=32(元)
答:甲商品的成本是272元,亏损32元.
考点七:行程问题
【典型例题18】
由于地铁施工,需要拆除我校图书馆,七年级同学主动承担图书馆整理图书的任务,如果由一个人单独做要用30小时完成,现先安排一部分人用1小时整理,随后又增加6人和他们一起又做了2小时,恰好完成整理工作,假设每个人的工作效率相同,那么先按排整理的人员有多少?
【典型例题19】
某厂接到长沙市一所中学的冬季校服订做任务,计划用A、B两台大型设备进行加工.如果单独用A型设备需要90天做完,如果单独用B型设各需要60天做完,为了同学们能及时领到冬季校服,工厂决定由两台设备同时赶制.
(1)两台设备同时加工,共需多少天才能完成?
(2)若两台设备同时加工30天后,B型设备出了故障,暂时不能工作,此时离发冬季校服时间还有13天.如果由A型设备单独完成剩下的任务,会不会影响学校发校服的时间?请通过计算说明理由.
【典型例题20】
一项筑路工程,甲队单独完成需要80天,乙队单独完成需要120天.
(1)求甲,乙两队每天的工作量之比;
(2)若甲队每天比乙队多筑路50米,求这项工程共需筑路多少米?
(3)在(2)的条件下,甲,乙两队合作12天;12天后,乙队引进先进设备提高了筑路速度,甲队因部分工人另有任务,筑路速度为原来的2/5,当两队合作完成此项工程的1/2时,甲队比乙队少筑路1/3,求提速后的乙队每天比甲队原来每天多筑路百分之几?
【答案解析】
考点八:行程问题
【典型例题21】
七年级数学:一元一次方程七年级数学:一元一次方程
甲、乙两人骑自行车分别从相距36km的两地匀速同向而行,如果甲比乙先出发半小时,那么他们在乙出发后经3小时甲追上乙;如果乙比甲先出发1小时,那么他们在甲出发后经5小时甲才能追上乙.请问:甲、乙两人骑自行车每小时各行多少千米?
【典型例题22】
A、B两地相距480km,C地在A、B两地之间.一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速行驶,前往B地.同时,一辆货车以80km/h的速度从B地岀发,匀速行驶,前往A地.
(1)当两车相遇时,求轿车行驶的时间;
(2)当两车相距120km时,求轿车行驶的时间;
(3)若轿车到达B地后,立刻以120km/h的速度原路返回,再次经过C地,两次经过C地的时间间隔为2.2h,求C地距离A地路程.
【典型例题23】甲、乙两汽车从A市出发,丙汽车从B市出发,甲车每小时行驶40千米,乙车每小时行驶45千米,丙车每小时行驶50千米.如果三辆汽车同时相向而行,丙车遇到乙车后10分钟才能遇到甲车,问何时甲丙两车相距15千米?
【答案解析】
七上数学应用题15个常考类型
1. 和、差、倍、分问题(增长率问题)
增长量=原有量×增长率
现在量=原有量+增长量
(1)倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,几分之几,增长率,减少,缩小……”来体现.
(2)多少关系:通过关键词语“多、少、大、小、和、差、不足、剩余……”来体现.
审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别.
2. 等积变形问题
(1)“等积变形”是以形状改变而体积不变(等积)为前提,是等量关系的所在。
常用等量关系为:
①形状面积变了,周长没变
②原料体积=成品体积
(2)常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.
①圆柱体的体积公式
V=底面积×高=S·h=πr2h
②长方体的体积
V=长×宽×高=abc
3. 劳力调配问题
从调配后的数量关系中找等量关系,要注意调配对象流动的方向和数量.这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:
1、既有调入又有调出;
2、只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
3、只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。
4. 数字问题
这类问题通常采用间接设法,常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系列方程。
要搞清楚数的表示方法
一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,十位数可表示为10b a,百位数可表示为100c 10b a(其中a、b、c均为整数,且0≤a≤9, 0≤b≤9, 1≤c≤9).
数字问题中一些表示
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n 2或2n—2表示;奇数用2n 1或2n—1表示.
5. 工程问题(生产、做工等类问题)
工作量=工作效率×工作时间
合做的效率=各单独做的效率的和. 一般情况下把总工作量设为1,完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1.
分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
工程问题常用等量关系:先做的 后做的=完成量.
6.行程问题
(1)行程问题中的三个基本量及其关系
路程=速度×时间
要特别注意:路程、速度、时间的对应关系(即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少)
(2)基本类型有
①单人往返
各段路程和=总路程
各段时间和=总时间
匀速行驶时速度不变
②相遇问题(相向而行)
快行距+慢行距=原总距
两者所走的时间相等或有提前量.
③追及问题(同向而行)
快行距-慢行距=原总距
两者所走的时间相等或有提前量.
④环形跑道上的相遇和追及问题
同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程;同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程.
行程问题可以采用画示意图的方法来帮助理解题。意,并注意两者运动时出发的时间和地点.
⑤航行问题
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度;
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度.
水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2
船在静水中的速度=(Ⅴ顺+V水)÷2
抓住两码头间距离不变,水速和船速(静速)不变的特点考虑相等关系.即顺水逆水问题常用等量关系:顺水路程=逆水路程.
⑥考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题
将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析,一切就一目了然.
常见的还有:
相背而行;行船问题;环形跑道问题
7. 商品销售问题
(1)商品销售额=商品销售价×商品销售量;
(2)商品销售利润=(销售价-成本价)×销售量;
(3)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.
关系式:商品售价=商品标价×折扣率.
8. 银行储蓄问题
⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数(存期),利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税.
⑵ 利息=本金×利率×期数
本息和=本金 利息
利息税=利息×税率(20%)
(3) 利润=×100%
注意利率有日利率、月利率和年利率:
年利率=月利率×12=日利率×365.
9.溶液配制问题
溶液质量=溶质质量+溶剂质量
溶质质量=溶液中所含溶质的质量分数.
常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系,分析时可采用列表的方法来帮助理解题意.
10.年龄问题
大小两个年龄差不会变;
主要等量关系:
抓住年龄增长,一年一岁,人人平等.
11.时钟问题
⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究
⑵ 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据:① 时针的速度是0.5°/分 ;②分针的速度是6°/分;③ 秒针的速度是6°/秒。
12.配套问题
这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系
13.比例分配问题
各部分之和=总量
比例分配问题的一般思路为:
设其中一份为x ,利用已知的比,写出相应的代数式.
14.比赛积分问题
注意比赛的积分规则,胜、负、平各场得分之和=总分
15.方案选择问题
根据具体问题,选取不同的解决方案
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