我们在初中的时候就学过求解一元二次方程，今天我们再来深入讨论一下这个看上去很简单的问题。
温馨提示：本文全是干货，是一篇深度剖析知识点的好文，非常值得收藏！
我们把形如
ax^2 bx c=0，a≠0
a、b、c∈R
的方程称之为一元二次方程
要想解这个方程，我们首先要保证方程是有实数解的。
ax^2 bx c=0
a[x^2 (b/a)x]=-c
a[x^2 (b/a)x b^2/4a^2]=-c b^2/4a
a(x b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a
(x b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
以上这个过程，我们称之为配方法
很显然，(x b/2a)^2≥0
(b^2-4ac)/4a^2=(x b/2a)^2≥0
a≠0，4a^2＞0
b^2-4ac≥0
我们用希腊字母△来表示b^2-4ac
我们称△为判别式，也就是判断一元二次方程是否有实根的式子。
△=b^2-4ac
(x b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
(x b/2a)^2=△/4a^2
x b/2a=±√(△/4a^2)=±√△/2a
x=-b/2a±√△/2a
x=(-b±√△)/2a
=[-b±√(b^2-4ac)]/2a
这就是一元二次方程的求根公式。
①当△＜0时，方程无实根；
②当△=0时，方程有两个相等实根
x1=x2=-b/2a
特别强调：此时方程是有两个相等的实根，而不是一个实根。
③当△＞0时，方程有两个不相等的实根；
x(1,2)=(-b±√△)/2a
总结一下：
①当△≥0时，方程有两个实根；
x(1,2)=(-b±√△)/2a
②当△＜0时，方程无实根。
当△≥0时，x(1,2)=(-b±√△)/2a
x1 x2
=(-b √△)/2a (-b-√△)/2a
=-2b/2a=-b/a
x1x2
=[(-b √△)/2a]×[(-b-√△)/2a]
=(b^2-△)/4a^2
=[b^2-(b^2-4ac)]/4a^2
=4ac/4a^2=c/a
x1 x2=-b/a
x1x2=c/a
我们把这两个关系式称之为韦达定理，也称为根与系数的关系。
注意：韦达定理成立的前提是△≥0
根据韦达定理，我们可以得出一个非常重要的结论。
∣x1-x2∣=√(x1-x2)^2
=√(x1^2-2x1x2 x2^2)
=√[(x1^2 2x1x2 x2^2)-4x1x2]
=√[(x1 x2)^2-4x1x2]
=√[(-b/a)^2-4(c/a)]
=√(b^2/a^2-4c/a)
=√[(b^2-4ac)/a^2]
=√△/∣a∣
∣x1-x2∣=√△/∣a∣
注意到，∣x1-x2∣所代表的几何意义就是一元二次方程两个根之间的距离。
所以这个公式称为两根距离公式。
反过来，如果知道方程的两根之和与两根之积，我们也可以构造出这个一元二次方程。
x1 x2=-b/a=α
x1x2=c/a=β
令a=1，则有
-b/a=-b/1=-b=α，b=-α
c/a=c/1=c=β，c=β
b=-α，c=β
x1，x2是如下方程的两个根。
x^2-αx β=0
求根公式是求解一元二次方程的万能公式，它可以求解任何一个一元二次方程，但求根公式最大的弊端在于运算稍显复杂。
我们能不能更简单的求解方程呢？
ax^2 bx c=0，a≠0
x^2 (b/a)x c/a=0
x^2-(-b/a)x c/a=0
根据韦达定理，若△≥0
x^2-(x1 x2)x x1x2=0
分解因式可得
(x-x1)(x-x2)=0
由此想到如果我们能将方程分解因式，则可以很快求出方程的两根。
ax^2 bx c=0，a≠0
(mx p)(nx q)=0
mnx^2 (mq np)x pq=0
a=mn，b=mq np，c=pq
(mx p)(nx q)=0
mx p=0或nx q=0
x1=-p/m，x2=-q/n
这种求解一元二次方程的方法称之为十字相乘法
十字相乘法
十字相乘法最大的优势在于，可以比较简单的求出方程的根。
但十字相乘法的弊端也很明显，那就是适用范围比较狭窄。
一是对于系数可分解为多组因数相乘的情况下，试错次数会增多；二是对于根含根号的方程并不适用。
那么现在问题来了，除了求根公式和十字相乘法，还有没有更好的求根方法？
美国卡内基美隆大学的华裔数学家罗博深教授（美国奥数队总教练）曾提出了一种罗氏算法，被媒体誉为3000年来的伟大变革。
接下来，我们就来看看这个罗氏算法到底有没有那么神奇？
罗博深
罗氏算法
ax^2 bx c=0，a≠0
根据韦达定理
设x1=-b/2a-u，x2=-b/2a u
满足x1 x2=-b/a
x1x2=(-b/2a-u)×(-b/2a u)
=b^2/4a^2-u^2=c/a
u^2=b^2/4a^2-c/a
=(b^2-4ac)/4a^2=△/4a^2
u=±√△/2a
再把u代入x1，x2中得出两根
x1=-b/2a-√△/2a
x2=-b/2a √△/2a
很显然，代入后化简的结果就是求根公式。
所以这个所谓的罗氏算法并没有什么特别高明的地方，其实罗博深教授本人也说这只是一个简单的小技巧而已，誉为3000年来的伟大变革完全是言过其实。我只能说，现在的有些媒体都是跟风报道，从来不去深究问题背后的本质。
但是，另一方面我们也应该看到罗氏算法相比十字相乘法，更符合数学的思维方式。因为十字相乘法是通过试错或者猜想来分解系数的，而数学不能只靠猜，更应该是通过计算得出的。
接下来我们通过一道例题，用4种不同的方法来求解，大家可以对比一下，哪种方法才是最符合数学精神的方法？
求解方程：x^2-8x 12=0
a=1，b=-8，c=12
△=(-8)^2-4×1×12
=64-48=16＞0
方法一：求根公式
x=[-(-8)±√16]/(2×1)
=(8±4)/2=4±2
x1=4-2=2，x2=4 2=6
x1=2，x2=6
方法二：韦达定理
x1 x2=-8/-1=8
x1x2=12/1=12
容易观察出
2 6=8
2×6=12
x1=2，x2=6
方法三：十字相乘法
观察到
1×1=1=a
(-2)×(-6)=12=c
1×(-6) 1×(-2)=-8=b
x^2-8x 12=0
(x-2)(x-6)=0
x-2=0或x-6=0
x1=2，x2=6
方法四：罗氏算法
x1 x2=-8/-1=8
x1x2=12/1=12
(x1 x2)/2=8/2=4
设x1=4-u，x2=4 u
x1x2=(4-u)(4 u)=16-u^2=12
u^2=16-12=4
u=±√4=±2
x1=4-2=2，x2=4 2=6
x1=2，x2=6
以上四种解法，到底孰优孰劣，就留给大家自行判断。
不知道大家有没有注意到，我在以上讲解中反复强调判别式△≥0是判断方程是否有实根的条件，当△＜0时，方程无实根。
我为什么要强调实根呢？因为如果将根的范围从实数域扩大到复数域，即使△＜0，方程仍然有两个虚根。
我们创造了一个虚数单位i，定义i^2=-1，这样-1就可以开根号了，定义√(-1)=i。
需要强调的是，如果是在复数范围内解方程x^2=-1，x是等于±i，而不是等于i。
在复数域内，当x＜0时
√x=√[(-x)×(-1)]=[√(-x)]×[√(-1)]
=[√(-x)]×i=i√(-x)
√x=i√(-x)，x＜0
对于一元二次方程
ax^2 bx c=0，a≠0
a、b、c∈R
当△＜0时
x=(-b±√△)/2a=[-b±i√(-△)]/2a
总结一下：
①当△≥0时，方程有两个实根；
x(1,2)=(-b±√△)/2a
②当△＜0时，方程有两个虚根；
x(1,2)=[-b±i√(-△)]/2a
这样，在复数范围内，无论△为多少，一元二次方程始终都能保证有两个根。
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